Detailinformationen
einführende Bemerkungen .....
Eingabemodul ........................
Abschnittseigenschaften .........
Lagereigenschaften ................
Belastung / Imperfektionen .....
Ergebnispräsentation ..............
Theorie u. Beispiele
 
Handbuch ................................
Durchlaufträger ECs 2, 3 ,5
Stahlbetondurchlaufträger ......
verstärkter Holzträger .............
Programmübersicht ................
Infos auf dieser Seite ... als pdf 
Theorie .................................
Effekte Stabformulierung ........
Querschnittsnachweis .....
 
Das Programm 4H-DULAS berechnet Stahlträger nach der Theorie der Wölbkrafttorsion und der Th. II. Ordnung.
Für den räumlich belasteten Träger werden unter Berücksichtigung von Imperfektionen Verformungen und
Schnittgrößen ermittelt.
Der Träger wird im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem beschrieben, das der Ausrichtung und Vermessung der Abschnitte, Lager und Lastbilder dient.
Die X-Achse zeigt in Längsrichtung des Durchlaufträgers.
Die Querschnitte werden in der zur X-Achse senkrecht stehenden YZ-Ebene beschrieben.
Die einzelnen Querschnittsformen (Profile, typisierte Querschnitte, mit 4H-QUER konstruierte Querschnitte) verfügen zur bequemen Eingabe über ein lokales yz-Beschreibungskoordinatensystem.
In der globalen YZ-Ebene kann der Querschnitt beliebig ausgerichtet und gedreht werden.
Man beachte die Groß- und Kleinschreibung zur Unterscheidung zwischem globalem KOS (groß)
und lokalem Querschnittskoordinatensystem (klein)!
Die klassische Stabtheorie geht von der Formerhaltung des Querschnitts aus.
Die Querschnittslage lässt sich im lokalen xyz-Querschnittskoordinatensystem über drei Verschiebungen ux, uy, uz und drei Verdrehungen φx, φy, φz beschreiben.
Bei der Theorie der Wölbkrafttorsion wird die Verwölbung des Querschnitts durch das Produkt der
Einheitsverwölbung ω mit der Verwindung ψx beschrieben.
Bei Stäben ohne Schubverformungen steht der Querschnitt auch nach der Deformation orthogonal auf der
verformten Stabachse (Normalenhypothese).
Daraus resultieren Beziehungen zwischen den Querschnittsverdrehungen φx, φy, φz und der Richtung der
verformten Stabachse ux', uy', uz' (Ableitung der Verformungen nach der x-Koordinate).
Neben dem globalen XYZ-Koordinatensystem und dem xyz-Beschreibungskoordinatensystem gibt es das durch
den Schwerpunkt S verlaufende lmn-System, dessen Achsen parallel zu den xyz-Achsen verlaufen (Entkopplung der Fläche und der Trägheitsmomente), sowie das durch S verlaufende ξηζ-Hauptachsensystem (Entkopplung der Trägheitsmomente).
Zur Beschreibung der Torsion wird der Schubmittelpunkt M mit den Koordinaten (yM, zM) als Drehpunkt verwendet (z.B. normierte Einheitsverwölbung ω).
Bezogen auf den Schubmittelpunkt lautet der Verschiebungsansatz für einen beliebigen Querschnittspunkt bei quadratischer Approximation der Querschnittsrotation
 
Wegen der Normalenhypothese folgt aus
 
unter Vernachlässigung von die Beziehung
 
Im Verschiebungsansatz wird die Verwölbung vereinfacht in Richtung der undeformierten Stabachse angenommen.
Die sekundären Wölbschubverzerrungen (Wagner-Hypothese) sowie nichtlineare Verdrillungsanteile werden im Folgenden vernachlässigt.
Die Schnittgrößen ergeben sich durch Integration der Normal- bzw. Schubspannungen über den Querschnitt.
Die Schnittkräfte wirken in Richtung der verformten Querschnittsachsen, die Momente drehen um die
entsprechenden Achsen in positiver Richtung (Rechte-Hand-Regel)
 
Mit den Biegemomenten im Hauptachsensystem und den entsprechenden Trägheitsmomenten können die Normalspannungen aus den Schnittgrößen ermittelt werden
 
Für dünnwandige Querschnitte werden zur Berechnung der Schubspannungen in Richtung der Profilmittellinien die statischen Momente Sη, Sζ, Sω und die Profildicken t in Abhängigkeit der Profilkoordinate s benötigt
 
Tp ist dabei das primäre Torsionsmoment aus St. Venant'scher Torsion und Ts das sekundäre Torsionsmoment
aus Wölbkrafttorsion.
Im Folgenden werden für dünnwandige Querschnitte die Indizes der Spannungen fortgelassen.
Für die Vergleichsspannung ergibt sich dann
 
Das Gleichgewicht in integraler Form für die Berechnungen nach Theorie II. Ordnung basiert auf dem Prinzip der virtuellen Arbeit.
Die innere virtuelle Arbeit ergibt sich mit dem Verschiebungsansatz und der Definition der Schnittgrößen zu
(u = uxM, v = uyM, w = uzM, φ = φx)
 
Neben dem primären Torsionsmoment Tp tritt hier das Torsionsmoment Tσ infolge Normalspannungen nach
Th. II. Ordnung (Wagner-Effekt) auf
 
Der Wagner-Koeffizient Kσ lässt sich aus den Schnittgrößen im Hauptachsensystem berechnen
 
Die Querschnittsstrecken ergeben sich durch Integration des Quadrats des Schwerpunktabstands rS
über den Querschnitt
 
Die externe virtuelle Arbeit lässt sich folgendermaßen angeben
 
Die Berücksichtigung von Lastexzentrizitäten ex, ey, ez führt zu zusätzlichen von den Verdrehungen abhängigen Momentenbelastungen
 
Ist die Einheitsverwölbung ωF des Querschnitts am Lastangriffspunkt von Null verschieden, führt dies zu einer zusätzlichen Wölbmomentenbelastung
 
Die Stabformulierung im Programm 4H-DULAS enthält die für die Baupraxis wichtigsten Effekte zur Untersuchung der Stabilität von Stäben mit dünnwandigen Querschnitten nach der Theorie der Wölbkrafttorsion.
An Hand einfacher Beispiele werden diese Effekte kurz dargestellt.
Die Verwölbung eines Querschnitts ist bei Einhaltung der Normalenhypothese mit der Verdrillung gekoppelt.
An Stellen des Stabes an denen die Verwölbung behindert ist (z.B. Stirnplatte) oder an denen sich das Torsions-
moment sprunghaft ändert, treten Zwängungen auf, die zu erheblichen zusätzlichen (Wölb-)Normalspannungen
führen können.
Der Einfluss der Wölbkrafttorsion kann durch die Stabkennzahl εT für Torsion charakterisiert werden:
Hierbei ist l die Stablänge, λω der Abklingfaktor und lω die Wölblänge.
Bei kleiner Stabkennzahl (< 15) ist Wölbkrafttorsion zu berücksichtigen, bei großen Werten von εT liegt i.W.
St. Venant'sche Torsion vor.
Das Wölbmoment Mω bzw. das sekundäre Torsionsmoment Ts klingen in der Entfernung von lω um den Faktor 1/e=0.368 ab. Die Wölblänge wird zur (automatischen) Teilung der Stababschnitte zur Berechnung verwendet.
Nachfolgend sind einige Berechnungen mit 4H-DULAS für Torsionsbelastung nach Theorie I. Ordnung aufgeführt,
die die Genauigkeit der Berechnung nach der Theorie der Wölbkrafttorsion zeigen.
Die theoretischen Lösungen gelten für einen unendlich langen Stab. Als Querschnitt wurde ein IPE300 verwendet, die Lastordinaten haben jeweils den Wert 1.0.
Für den Fall eines Torsionsmoments MX im ungestörten Stabbereich (Stabmitte) gilt für die Schnittgrößen im Lastangriffspunkt
Für den Fall eines Torsionsmoments MX am Stabanfang mit starrer Wölbeinspannung gilt für die Schnittgrößen
des Anfangspunktes
Für den Fall eines Linientorsionsmoments mX mit starrer Wölbeinspannung am Stabanfang gilt für die Schnittgrößen
Das nächste Beispiel soll den Einfluss von Belastungen in Stablängsrichtung auf die Verdrillung des Trägers zeigen.
Beim Z-Profil ist die Einheitsverwölbung ωS des Querschnitts im Schwerpunkt von Null verschieden.
Dies führt bei einem Kragarm unter einer Längskraft im Schwerpunkt des Stabendpunkts zu einer Wölbmomentenbelastung von . Der Stab wird sich demnach verdrillen.
Das folgende Bild zeigt die Deformation des Trägers bei Berechnung mit 4H-DULAS.
Die Ergebnisse der entsprechenden FEM-Berechnung mit 4H-ALF3D (Faltwerkselemente) zeigen bis auf Effekte aus Lasteinleitung und Querschnittsverformungen sehr gute Übereinstimmungen mit den Resultaten von 4H-DULAS.
Der Lastangriffspunkt kann in 4H-DULAS beliebig gewählt werden. Die Verwölbung ist jedoch nur für die Kontur des dünnwandigen Querschnitts bekannt. Für Punkte ausserhalb der Kontur wird die Verwölbung durch Mittelung aus
den umliegenden Querschnittsteilen berechnet.
Durch den Verdrehungsanteil senkrecht zur Stablängsachse der inneren virtuellen Arbeit nach Theorie II. Ordnung (Biegeabtriebsterme) ergeben sich bei von Null verschiedener Normalkraft zusätzliche Liniendrillmomente.
Bei konstanter Normalkraft entspricht dies Zusatzquerbelastungen und Kräften am Anfang und Ende des Stabes.
Setzt man in diese Beziehungen die Verformungen der Imperfektion Schiefstellung oder Vorkrümmung ein,
erhält man die Ersatzlasten nach DIN 18800.
Durch den Verdrehungsanteil um die Stablängsachse der inneren virtuellen Arbeit nach Theorie II. Ordnung (Kippabtriebsterme) ergibt sich bei Vorhandensein von Biegemomenten ein zusätzliches Liniendrillmoment;
v0 bzw. w0 sind dabei die Vorverformungen in y- bzw. z-Richtung.
Näherungsweise erhält man für Querschnitte ohne Hauptachsendrehung
Die Verdrillung bei Momentenbelastung ist demnach für Querschnitte mit unterschiedlichen Trägheitsmomenten
am größten.
Für einen gabelgelagerten Einfeldträger ergeben sich für die Momente nach Theorie I. Ordnung aus konstanten Querlasten qy, qz und für konstante Vorkrümmungen mit dem Stich vm, wm
Bei kleinen Verdrehungen φx berechnet sich das Drillmoment Mx am Stabende dann zu
Für einen Träger der Länge 5 m mit dem oben dargestellten Querschnitt IPE300 ergibt sich in als Näherung
(Einheiten kN, m)
Bei Berechnung des Trägers mit 4H-DULAS kann eine sehr gute Übereinstimmung festgestellt werden.
Exzentrisch angreifende Querlasten und Drehfedern cφ verursachen ein zusätzliches Drillmoment
Der von der Verdrehung um die Stabachse φx abhängige Anteil hat Einfluss auf die Stabilität des Systems im
Hinblick auf das Biegedrillknicken.
Neben dem primären Torsionsmoment Tp tritt bei der inneren virtuellen Arbeit nach Theorie II. Ordnung das Torsionsmoment Tσ infolge Normalspannungen nach Theorie II. Ordnung auf (Drillabtriebsterm)
Der Wagner-Koeffizient Kσ lässt sich aus den Schnittgrößen im Hauptachsensystem berechnen
Ein von Null verschiedener Wagner-Koeffizient entspricht einer Vergrößerung (Kσ > 0) oder Verkleinerung (Kσ< 0)
des Torsionsträgheitsmoments IT und wirkt sich deshalb auf die Stabilität des Trägers aus.
Eine sehr große Drucknormalkraft (N < 0) kann zum (Biege)Drillknicken führen.
Die Querschnittsstrecken rη, rζ sind bei Symmetrie der entsprechenden Richtung gleich 0.
Andernfalls (z.B. rζ beim T-Profil) ergeben sich je nach Vorzeichen des zugehörigen Biegemoments
(Mη   beim T-Profil) unterschiedliche Werte, bei denen das Biegedrillknicken eintritt.
Für einen doppeltsymmetrischen, beidseitig gabelgelagerten Träger unter zentrischer Normalkraft ergibt sich als kritische Normalkraft für Biegeknicken und Drillknicken
Die kritischen Werte eines Trägers mit 8 m Länge und dem oben abgebildeten Querschnitt sind NB = 2835.3 kN
und ND = 2018.6 kN.
In diesem Fall tritt das Drillknicken vor dem Biegeknicken ein.
Bei einer Berechnung des Trägers mit 4H-DULAS wird für ND = 2020 kN und nach Stabilisierung des Trägers mit
einer Drehfeder für NB = 2836 kN die Instabilität des Systems gemeldet.
Für einen zur z-Achse symmetrischen, beidseitig gabelgelagerten Träger unter konstanter Gleichlast in der Symmetrieachse und dem Lastangriffspunkt zp (Abstand vom Schwerpunkt) ergibt sich überschlägig nach
DIN 4114, Blatt 2, als kritischer Lastwert für Biegedrillknicken
Je nach Lastrichtung kann der Betrag der Last unterschiedliche Größenordnungen annehmen, wenn die Last exzentrisch zum Schubmittelpunkt wirkt oder die Querschnittsstrecke rz (s. Wagner-Koeffizient) ungleich Null ist.
Die nachstehende Tabelle zeigt die kritischen Lastfaktoren in positiver und negativer z-Richtung eines beidseitig gabelgelagerten Trägers mit T140-Profil, der 5 m lang ist und mit einer Gleichstreckenlast von 1 kN/m belastet ist,
für unterschiedliche Lastangriffspunkte.

 Lastangriffspunkt zp 
 bzgl. Schwerpunkt 
in cm
 kritischer Lastfaktor in pos. z-Richtung 
 kritischer Lastfaktor in neg. z-Richtung 
DIN 4114
4H-DULAS
DIN 4114
4H-DULAS
-10
28.76
29.2
30.35
29.9
-5
31.28
31.6
27.90
27.8
0
34.01
34.2
25.66
25.8
5
36.94
37.0
23.63
23.9
10
40.06
40.0
21.78
22.2
Der Tragsicherheitsnachweis der offenen, dünnwandigen Querschnitte kann nach den Nachweisverfahren
Elastisch-Elastisch (E-E) (DIN EN 1993-1-1, Abschnitt 6.2.1(5)) oder
Elastisch-Plastisch (E-P) (DIN EN 1993-1-1, Abschnitt 6.2.1(6))
geführt werden.
Beim Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch (E-E) werden die Schnittgrößen (Beanspruchungen) auf Grundlage der Elastizitätstheorie bestimmt.
Der Spannungsnachweis erfolgt mit dem Fließkriterium aus DIN EN 1993-1-1, Abschnitt 6.2.1(6), Formel 6.1.
Beim Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch (E-P) werden die Schnittgrößen (Beanspruchungen) gleichfalls auf Grundlage der Elastizitätstheorie bestimmt.
Anschließend wird überprüft, ob die Schnittgrößen (zweiachsige Beanspruchung einschl. St. Venant'scher Torsion
und Wölbkrafttorsion) vom Querschnitt unter Ausnutzung der plastischen Reserven aufgenommen werden können (plastische Querschnittstragfähigkeit). Die verwendeten Berechnungsverfahren sind allgemeingültiger als die in
DIN EN 1993 angegebenen Interaktionen für spezielle Schnittgrößenkombinationen.
Für Dreiblechquerschnitte (I-, C-, U-, Z-, L-, T-Querschnitte) und Flachstahl bzw. Rechteckrohre als Profile oder
typisierte Querschnitte kommt das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) mit Umlagerung nach Kindmann zur
Anwendung (DIN18800 und DIN EN 1993).
Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit,
Grundlagen, Methoden, Berechnungsverfahren, Beispiele, Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002
Bei Nachweisen nach DIN EN 1993 können beliebige dünnwandige Querschnitte mit dem erweiterten Teilschnittgrößenverfahren oder mit Hilfe der Dehnungsiteration plastisch nachgewiesen werden.
Für Dreiblechquerschnitte ist das Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann am effizientesten. Deshalb kann es für diese Querschnitte als Standardverfahren gewählt werden.
Bei allen plastischen Nachweisverfahren wird zunächst eine Schubspannungsverteilung angenommen, die mit den schuberzeugenden Schnittgrößen (Querkräfte, Torsionsmomente) im Gleichgewicht steht.
Bei dem erweiterten Teilschnittgrößenverfahren und der Dehnungsiteration werden die über die Querschnittsteile gemittelten Schubspannungen der elastischen Verteilung verwendet. Diese Aufteilung wird bei der anschließenden Berechnung der Normalspannungen nicht weiter umgelagert.
Beim erweiterten Teilschnittgrößenverfahren wird der Querschnitt wie beim TSV nach Kindmann in einzelne Bleche aufgeteilt. Die Bleche haben den gleichen Schwerpunkt und die gleiche Fläche wie die entsprechenden Querschnittsteile.
Als Teilschnittgrößen der Bleche, die die Normalspannung erzeugen, werden die Normalkraft und das Hauptbiegemoment angesetzt. Die Querbiegung wird vernachlässigt.
Die maximal aufnehmbaren Teilschnittgrößen werden unter Berücksichtigung des Gleichgewichts mit den
gesteigerten äußeren Schnittgrößen (Normalkraft, Biegemomente und Wölbmoment) und den plastischen Grenzbedingungen der Bleche ermittelt. Man erhält so den maximalen Laststeigerungsfaktor; die plastische Ausnutzung ist dann dessen Kehrwert.
Die Berechnung erfolgt nach Linearisierung der Grenzbedingungen mit einem Simplex-Verfahren zur Lösung des zugrunde liegenden linearen Optimierungsproblems. Das Verfahren ist sehr robust und effizient, weshalb es als Standardverfahren vorgesehen ist.
Das Verfahren der Dehnungsiteration (DIV) wird in R. Kindmann, J. Frickel: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit (Kapitel 10.10) beschrieben.
Die angenommenen Schubspannungen reduzieren die zulässige Normalspannung der Querschnittsteile. Können die Schubspannungen nicht aufgenommen werden, muss der maximal mögliche Lastfaktor reduziert werden.
Die Verwölbung der Querschnittsteile wird wie beim elastischen Verfahren für dünnwandige Querschnitte
ermittelt und in den einzelnen Teilen als ebene Verformung angesetzt. Durch Variation der Dehnungsebene
und der Verdrillungsableitung wird unter Berücksichtigung der reduzierten zulässigen Normalspannungen ein Dehnungszustand gesucht, dessen resultierende Schnittgrößen ein maximales Vielfaches der aufzunehmenden Schnittgrößen sind.
Dieser Grenzdehnungszustand darf für keinen Querschnittspunkt die Bruchdehnung εu überschreiten
bzw. -εu unterschreiten.
Falls der sich so ergebende maximale Lastfaktor evtl. nicht mit dem für die Schubspannungen verwendeten
Lastfaktor übereinstimmt, sind weitere Berechnungsschritte notwendig, bis die Lastfaktoren nahezu gleich sind.
Die Genauigkeit der Übereinstimmung kann vorgegeben werden. Die Iteration der Schubausnutzung kann z.B. für eine schnellere Berechnung abgestellt werden.
Im Gegensatz zum erweiterten Teilschnittgrößenverfahren wird bei der Dehnungsiteration die Querbiegung der Querschnittsteile berücksichtigt. Ausrundungen bzw. veränderliche Dicken der Teile werden besser modelliert. Allerdings ist der Unterschied in den errechneten plastischen Ausnutzungen zumeist recht gering.
Eine Begrenzung der Grenzbiegemomente wie in DIN 18800, El. 755, ist in DIN EN 1993 nicht erforderlich.
Die Grenzwerte grenz (c/t) werden je nach Nachweisverfahren aus DIN EN 1993-1-1, Abs. 5.5.2, Tab. 5.2, ermittelt.
Dies entspricht der Überprüfung der erforderlichen Klassifizierung des Querschnitts.
Lässt die Klassifizierung keinen plastischen Nachweis zu, wird der elastische Nachweis geführt.
 
Der Tragsicherheitsnachweis der offenen, dünnwandigen Querschnitte kann nach den Nachweisverfahren
Elastisch-Elastisch (E-E) (DIN 18800, El. 747) oder
Elastisch-Plastisch (E-P) DIN 18800, El. 757)
geführt werden.
Beim Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch (E-E) werden die Schnittgrößen (Beanspruchungen) auf Grundlage der Elastizitätstheorie bestimmt.
Neben den Nachweisen nach Gl. 31-33 kann bei der Berechnung der Querschnittsausnutzung eine örtliche Plastifizierung erlaubt werden (DIN 18800, El. 747, El. 749, El. 750).
Beim Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch (E-P) werden die Schnittgrößen (Beanspruchungen) gleichfalls auf Grundlage der Elastizitätstheorie bestimmt.
Anschließend wird mit Hilfe des Teilschnittgrößenverfahrens (TSV) mit Umlagerung
Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit,
Grundlagen, Methoden, Berechnungsverfahren, Beispiele, Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002
überprüft, ob die Schnittgrößen vom Querschnitt unter Ausnutzung der plastischen Reserven aufgenommen werden können (plastische Querschnittstragfähigkeit).
Es können Dreiblechquerschnitte (I-, C-, U-, Z-, L-, T-Querschnitte) und Rohre als Profile oder typisierte
Querschnitte unter zweiachsiger Beanspruchung einschließlich St. Venant'scher Torsion und Wölbkrafttorsion
nachgewiesen werden.
Die Begrenzung der Grenzbiegemomente (DIN 18800, El. 755) kann bei Bedarf ausgeschaltet werden.
Die Grenzwerte grenz (c/t) werden beim Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch n. DIN 18800,
Tab. 12-14, errechnet.
Bei Ausnutzung der plastischen Querschnittsreserven werden die Grenzwerte grenz (c/t) n. DIN 18800,
Tab. 15, ermittelt.
 
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